Question

已知椭圆中心在原点，焦点在x轴上，长轴长等于12，离心率为

1

3

．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）在椭圆上任取一点P，过P点做y轴垂线段PQ，Q为垂足，当P在椭圆上运动时，求线段PQ的中点M的轨迹方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）依题意，可求得椭圆的半长轴a=6，半焦距c=2，从而可求得半短轴b，于是可得椭圆的方程．
（Ⅱ）设线段PQ的中点为M（x，y），点P的坐标是（x₀，y₀），则

x0=2x y0=y

，由点P在椭圆上，能求出线段PQ中点M的轨迹方程．

解答： 解：（Ⅰ）由题意知，2a=12，

c

a

=

1

3

，故a=6，c=2，
∴b²=a²-c²=32，
故所求椭圆的方程为：

x2

36

+

y2

32

=1．
（Ⅱ）设线段PQ的中点为M（x，y），
点P的坐标是（x₀，y₀），
那么：

x0=2x y0=y

，
由点P在椭圆上，得

4x2

36

+

y2

32

=1，即

y2

32

+

x2

9

=1，
∴线段PQ中点M的轨迹方程是

y2

32

+

x2

9

=1．

点评：本题考查椭圆方程的求法和求线段PQ的中点M的轨迹方程．主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．