题目内容
已知函数f（x）=x3-2x2+x-1．
（1）求函数y=f（x）的极值；
（2）求函数f（x）在[0，2]上的最大值与最小值．
（1）求函数y=f（x）的极值；
（2）求函数f（x）在[0，2]上的最大值与最小值．
考点：利用导数研究函数的极值,利用导数求闭区间上函数的最值
专题：导数的概念及应用
分析：（1）先求出函数的导数，从而得出函数的单调区间，进而求出函数的极值；
（2）由（1）知，函数在[0，
）递增，在（
，1）递减，在（1，2]递增，从而求出函数的最值．
（2）由（1）知，函数在[0，
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
解答：
解：（1）f'（x）=3x2-4x+1，
令 f'（x）=0，解得x1=
，x2=1．
列表讨论f（x）、f'（x）的变化情况：
所以，f（x）的单调递增区间为（-∞，
）、（1，+∞）；f（x）的单调递减区间为（
，1）；
当x=
时，f（x）的极大值是f（
）=-
；
当x=1时，f（x）的极小值是f（1）=3；
（2）由（1）知，函数在[0，
）递增，在（
，1）递减，在（1，2]递增，
∴x=0或1时，f（x）取最小值-1，x=2时，f（x）取最大值1．
令 f'（x）=0，解得x1=
| 1 |
| 3 |
列表讨论f（x）、f'（x）的变化情况：
| x | （-∞，
|
| （
| 1 | （1，+∞） | ||||||
| f'（x） | + | 0 | - | 0 | + | ||||||
| f（x） | ↗ | 极大值 | ↘ | 极小值 | ↗ |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
当x=
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 23 |
| 27 |
当x=1时，f（x）的极小值是f（1）=3；
（2）由（1）知，函数在[0，
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
∴x=0或1时，f（x）取最小值-1，x=2时，f（x）取最大值1．
点评：本题考查了函数的单调性，函数的最值问题，极值问题，考查导数的应用，是一道中档题．
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