Question

已知偶函数f（x）在[0，+∞）单调递增，若f（lnx）+f（ln

1

x

）＜2f（1），则x的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合

专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：运用偶函数的定义和性质：f（|x|）=f（x），原不等式即为f（|lnx|）＜f（1），再由单调性即得|lnx|＜1，再由对数函数的单调性，即可解得x的范围．

解答： 解：偶函数f（x）有f（-x）=f（x），且f（|x|）=f（x），
f（lnx）+f（ln

1

x

）＜2f（1），
即为f（lnx）+f（-lnx）＜2f（1）
即有2f（lnx）＜2f（1），
即为f（|lnx|）＜f（1）．
由于偶函数f（x）在[0，+∞）单调递增，
则|lnx|＜1，
即-1＜lnx＜1，
解得，

1

e

＜x＜e．
故答案为：（

1

e

，e）．

点评：本题考查函数的奇偶性和单调性的运用：解不等式，考查对数函数的单调性及应用，考查运算能力，属于中档题和易错题．