Question

已知B（0，b），F₁，F₂分别为双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，圆F₂过原点O（圆心为F₂），直线BF₁与圆F₂相切．
（1）求双曲线的离心率；
（2）若直线BF₁与双曲线交于M，N两点，且△OMN的面积为2

6

，求双曲线的方程．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质,双曲线的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由题意得到直线BF₁ 的方程，由圆心到直线的距离等于半径列式求得双曲线的离心率；
（2）联立直线方程和双曲线方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数关系得到M，N的横坐标的差的绝对值，把三角形的面积转化为两个三角形的面积和列式，结合双曲线的离心率即可求得a，b的值，则双曲线方程可求．

解答： 解：（1）如图，

直线BF₁ 的方程为

y-0

b-0

=

x+c

0+c

，即bx-cy+bc=0．
∵直线与圆F₂相切，
∴

|2bc|

b2+c2

=c，即4b²=b²+c²，3b²=c²，
也就是3c²-3a²=c²，2c²=3a²，即e=

c

a

=

6

2

；
（2）联立

bx-cy+bc=0 x2 a2 - y2 b2 =1

，得b²x²-2a²cx-2a²c²=0．
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
x1+x2=

2a2c

b2

，x1x2=-

2a2c2

b2

，
|x2-x1|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

( 2a2c b2 )2+ 8a2c2 b2

=

8a2c4-4a4c2

b2

．
∴

1

2

b•

8a2c4-4a4c2

b2

=2

6

，即2a²c⁴-a⁴c²=24c²-24a²  ①，
把

c

a

=

6

2

代入①得，a²=2，c²=3，
∴b²=c²-a²=1．
∴双曲线方程为

x2

2

-y2=1．

点评：本题考查了双曲线的几何性质，考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了数学转化思想方法，把三角形的面积转化为两个三角形的面积和是解答（2）的关键，考查了学生的计算能力，是压轴题．