Question

目前，埃博拉病毒在西非并逐渐蔓延，研究人员将埃博拉的传播途径结合飞机航班数据，埃博拉的潜伏时间等因素，计算出不限飞情况下，亚洲国家中印度、中国、阿联酋、黎巴嫩在一个月后出现输入性病例的概率分别是0.1、0.2、0.2、0.2，假定各地出现输入性病例是彼此独立的．
（1）求上述四国中恰有1个国家出现输入性病例的概率；
（2）从上述四国中任选两国调研疫情，求恰有一国选在西亚（阿联酋、黎巴嫩），一国选在中国和印度的概率；
（3）专家组拟按下面步骤进行疫情调研，每一步若出现输入性病例，若出现则留下来研究，不在进行下一步调研；
第一步，一次性选中国和印度两个国家同时进行调研；
第二步，在阿联酋和黎巴嫩两个国家中随机抽取1个国家进行调研
第三步，对剩下的一个国家进行调研．
求该专家组调研国家个数的分布列和期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,离散型随机变量及其分布列

专题：概率与统计

分析：（1）四国中恰有1个国家出现输入性病例共有四种情况：选出一个国家出现输入性病例而另外三个国家没有出现输入性病例，利用相互独立和互斥事件的概率计算公式即可得出；
（2）恰有一国选在西亚（阿联酋、黎巴嫩）有

∁

1 2

种情况，一国选在中国和印度有

∁

1 2

中情况，因此共有

∁

1 2

∁

1 2

种，而基本事件的总数为

∁

2 6

，利用古典概率的概率计算公式即可得出．
（3）利用相互独立和相互对立事件的概率计算公式可得第一步出现输入性病例的概率=1-（1-0.1）×（1-0.2）；同理可得：若第一步没有出现输入性病例而第二步出现输入性病例的概率=（1-0.1）×（1-0.2）×0.2×2；若第一步及第二不没有出现输入性病例而第三步出现输入性病例的概率=1-0.28-
0.288．

解答： 解：（1）P=0.1×（1-0.2）³+（1-0.1）×0.2×（1-0.2）²×3=0.4096．
（2）P=

∁ 1 2 × ∁ 1 2

∁ 2 4

=

2

3

．
（3）第一步出现输入性病例的概率=1-（1-0.1）×（1-0.2）=0.28；
若第一步没有出现输入性病例而第二步出现输入性病例的概率=（1-0.1）×（1-0.2）×0.2×2=0.288．
若第一步及第二不没有出现输入性病例而第三步出现输入性病例的概率=1-0.28-0.288=0.432．
列出表格：

ξ	2	3	4
P（ξ）	0.28	0.288	0.432

∴E（ξ）=2×0.28+3×0.288+4×0.432=3.142．

点评：本题考查了相互独立、对立和互斥事件的概率计算公式、古典概率的计算公式、离散型随机变量的分布列及其数学期望计算，查看了推理能力与计算能力，属于难题．