Question

已知向量

m

=（1，3cosα），

n

=（1，4tanα），α∈(-

π

2

，   

π

2

)，且

m

•

n

=5．
（Ⅰ） 求|

m

+

n

|；
（Ⅱ） 设向量

m

与

n

的夹角为β，求tan（α+β）的值．

Answer 1

考点：两角和与差的正切函数,数量积表示两个向量的夹角

专题：计算题,三角函数的求值,平面向量及应用

分析：（Ⅰ）由向量的数量积的坐标公式化简即得sinα，由同角公式，求得cosα，tanα，得到向量m，n，再由模的公式即可得到所求的值；
（Ⅱ）运用向量的夹角公式，求得cosβ，进而得到sinβ，tanβ，再由两角和的正切公式，即可得到所求的值．

解答： 解：（Ⅰ）由

m

=（1，3cosα），

n

=（1，4tanα），
则

m

•

n

=1+12cosαtanα=5，解得sinα=

1

3

，
因为α∈(-

π

2

，   

π

2

)，所以cosα=

2 2

3

，tanα=

2

4

．
则

m

=（1，2

2

），

n

=（1，

2

）
则

m

+

n

=(2，3

2

)，
即有|

m

+

n

|=

4+18

=

22

；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知

m

=（1，2

2

），

n

=（1，

2

），
则cosβ=cos＜

m

，

n

＞=

1+4

3 3

=

5 3

9

，
即有sinβ=

1-( 5 3 9 )2

=

6

9

，所以tanβ=

2

5

，
所以tan(α+β)=

2 4 + 2 5

1- 2 4 × 2 5

=

2

2

．

点评：本题考查平面向量的运用和两角和的正切公式及运用，考查向量的数量积的坐标公式和性质及运用，考查运算能力，属于中档题．