Question

【题目】2019年泉州市农村电商发展迅猛，成为创新农产品交易方式、增加农民收入、引导农业供给侧结构性改革、促进乡村振兴的重要力量，成为乡村振兴的新引擎.2019年大学毕业的李想，选择回到家乡泉州自主创业，他在网上开了一家水果网店.2019年双十一期间，为了增加水果销量，李想设计了下面两种促销方案：方案一：购买金额每满120元，即可抽奖一次，中奖可获得20元，每次中奖的概率为（），假设每次抽奖相互独立.方案二：购买金额不低于180元时，即可优惠元，并在优惠后的基础上打九折.

（1）在促销方案一中，设每10个抽奖人次中恰有6人次中奖的概率为，求的最大值点；

（2）若促销方案二中，李想每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的八折，求的最大值；

（3）以（1）中确定的作为的值，且当取最大值时，若某位顾客一次性购买了360元，则该顾客应选择哪种促销方案？请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）20元；（3）选择方案一，理由见解析

【解析】

(1) 依题意得：，利用求导，即可求出最值

(2) 设顾客一次购买水果的促销前总价为，当元时，有恒成立，利用参变分离法，把和分别放在不等式两边即可求解.

(3)分别列出参加两种活动的方案，然后分别计算出减负金额即可判断应选择哪种促销方案

解：（1）依题意得：，

则，

当时，；当时，，

故在时取得最大值，所以.

（2）设顾客一次购买水果的促销前总价为，

当元时，有恒成立，

即恒成立，所以，故的最大值为20元.

（3）若参加活动一，顾客可抽奖三次.设X表示顾客在三次抽奖中中奖的次数，

由于顾客每次抽奖的结果相互独立，则，

所以.

由于顾客每中一次可获得20元现金奖励，

因此该顾客在三次抽奖中可获得的奖励金额的均值为元，

若参加活动二，顾客可得减负金额为元.

又因为，所以顾客应该选择活动二.