Question

【题目】已知抛物线的焦点为F，过点F，斜率为1的直线与抛物线C交于点A，B，且．

（1）求抛物线C的方程；

（2）过点Q（1，1）作直线交抛物线C于不同于R（1，2）的两点D、E，若直线DR，ER分别交直线于M，N两点，求|MN|取最小值时直线DE的方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

（1）过点F且斜率为的直线方程与抛物线的方程联立，利用求得的值，即可求得抛物线的方程；

（2）设D（x1，y1），E（x2，y2），直线DE的方程为，直线的方程为，由题意求出得值，建立的解析式，再求出的最小值以及直线的方程．

（1）抛物线的焦点为，

直线方程为：，

代入中，消去y得： ，

设A（x1，y1），B（x2，y2），则有，

由，得，即，解得，

所以抛物线C的方程为：；

（2）设D（x1，y1），E（x2，y2），直线DE的方程为，如图所示，

由，消去，整理得：，

∴，

设直线DR的方程为，

由，解得点M的横坐标，

又k1==，∴xM==-，

同理点N的横坐标，

=4，

∴|MN|=|xM-xN|=|-+|=2||==，

令，则，

∴|MN|===≥=，

所以当，即时，|MN|取最小值为，

此时直线DE的方程为．