Question

如图,在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中,E、F分别是BB₁、CD的中点.

(Ⅰ)证明AD⊥D₁F;

(Ⅱ)求AE与D₁F所成的角;

(Ⅲ)证明面AED⊥面A₁FD₁;

(Ⅳ)设求三棱锥的体积

Answer 1

解:(Ⅰ)∵AC₁是正方体,∴AD⊥面DC₁.又D₁F面DC₁,∴AD⊥D₁F.                    

                          

(Ⅱ)取AB中点G,连结A₁G,FG.因为F是CD的中点,所以GF、AD平行且相等,又A₁D₁、AD平行且相等,所以GF、A₁D₁平行且相等,故GFD₁A₁是平行四边形,A₁G∥D₁F.

设A₁G与AE相交于点H,则∠AHA₁是AE与D₁F所成的角,因为E是BB₁的中点,所以Rt△A₁AG≌Rt△ABE,∠GA₁A=∠GAH，从而∠AHA₁=90°,即直线AE与D₁F所成角为直角.                     

(Ⅲ)由(Ⅰ)知AD⊥D₁F,由(Ⅱ)知AE⊥D₁F,又AD∩AE=A,所以D₁F⊥面AED.又因为D₁F 面A₁FD₁,所以面AED⊥面A₁FD₁-

 (Ⅳ)连结GE,GD₁.

∵FG∥A₁D₁,∴FG∥面A₁ED₁,

∴体积

∵∴面积

∴