Question

已知函数f（x）=2sin

π

6

xcos

π

6

x，过两点A（t，f（t）），B（t+1，f（t+1））的直线的斜率记为g（t）．
（Ⅰ）求g（0）的值；
（Ⅱ）写出函数g（t）的解析式，求g（t）在[-

3

2

，

3

2

]上的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：综合题,导数的概念及应用

分析：（Ⅰ）化简函数f（x），利用g(0)=

f(1)-f(0)

1

，代入计算，即可求g（0）的值；
（Ⅱ）根据过两点A（t，f（t）），B（t+1，f（t+1））的直线的斜率，可得函数g（t）的解析式，再利用辅助角公式，化简函数，即可求g（t）在[-

3

2

，

3

2

]上的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=2sin

π

6

xcos

π

6

x，∴f(x)=sin

π

3

x---------------------------（2分）
∴g(0)=

f(1)-f(0)

1

=sin

π

3

-sin0=

3

2

．-------------------------------（5分）
（Ⅱ）g(t)=

f(t+1)-f(t)

t+1-t

=sin(

π

3

t+

π

3

)-sin

π

3

t------------------------------（6分）
=sin

π

3

tcos

π

3

+cos

π

3

tsin

π

3

-sin

π

3

t------------------------------（7分）
=-

1

2

sin

π

3

t+

3

2

cos

π

3

t------------------------------（8分）
=-sin(

π

3

t-

π

3

)----------------------（10分）
∵t∈[-

3

2

，

3

2

]，∴

π

3

t-

π

3

∈[-

5π

6

，

π

6

]，--------------------（11分）
∴sin(

π

3

t-

π

3

)∈[-1，

1

2

]，---------------------（12分）
∴g（t）在[-

3

2

，

3

2

]上的取值范围是[-

1

2

，1]------------------（13分）

点评：本题考查直线的斜率计算，考查三角函数的值域问题，考查学生的计算能力，正确确定函数解析式是关键．