题目内容

已知集合A={x|x=a+b
2
，a，b∈Q}，若x1，x2∈A
（1）试问x1x2，
x1
x2
是否属于A；
（2）若B={x|x=a+b
2
，a，b∈Z}，试问x1x2，
x1
x2
是否属于B，为什么？
考点：元素与集合关系的判断
专题：集合
分析：（1）根据x1，x2∈A，集合A={x|x=a+b
2
，a，b∈Q}，可设x1=a1+b1
2
，x2=a2+b2
2
，（a1，a2，b1，b2∈Q），分别求了x1x2，
x1
x2
，再根据A中集合元素特征可得答案．
（1）根据x1，x2∈B，集合A={x|x=a+b
2
，a，b∈Z}，可设x1=a1+b1
2
，x2=a2+b2
2
，（a1，a2，b1，b2∈Z），分别求了x1x2，
x1
x2
，再根据B集合元素特征可得答案．
解答： 解：（1）∵x1，x2∈A，集合A={x|x=a+b
2
，a，b∈Q}，
∴设x1=a1+b1
2
，x2=a2+b2
2
，（a1，a2，b1，b2∈Q），
则x1x2=a1a2+2b1b2+（a1b2+a2b1）
2
，
∵a1a2+2b1b2∈Q，a1b2+a2b1∈Q，
∴x1x2∈A；
x1
x2
=
a1a2-2b1b2
a
2
2
-2
b
2
2
+
a2b1-a1b2
a
2
2
-2
b
2
2
2
，
∵
a1a2-2b1b2
a
2
2
-2
b
2
2
∈Q，
a2b1-a1b2
a
2
2
-2
b
2
2
∈Q，
∴
x1
x2
∈A．
（2）∵x1，x2∈B，集合B={x|x=a+b
2
，a，b∈Z}，
∴设x1=a1+b1
2
，x2=a2+b2
2
，（a1，a2，b1，b2∈Z），
则x1x2=a1a2+2b1b2+（a1b2+a2b1）
2
，
∵a1a2+2b1b2∈Z，a1b2+a2b1∈Z，
∴x1x2∈B；
x1
x2
=
a1a2-2b1b2
a
2
2
-2
b
2
2
+
a2b1-a1b2
a
2
2
-2
b
2
2
2
，
∵
a1a2-2b1b2
a
2
2
-2
b
2
2
∈Z，
a2b1-a1b2
a
2
2
-2
b
2
2
∈Z不一定成立
∴
x1
x2
∈B不一定成立．
点评：本题考查的知识点是元素与集合关系的判断，熟练掌握集合中元素满足的特征是解答的关键．
练习册系列答案
相关题目
在△ABC中，已知sin2A+sin2B+sin2C=2，则△ABC为（　　）
A、等腰三角形
B、等边三角形
C、直角三角形
D、等腰直角三角形
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x
y+z
+
y
x+z
+
z
x+y
的最小值．
求证：
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cos(
3π
2
+x)
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an+1
3n
，求数列{bn}的通项公式；
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2
3
（
π
2
＜α＜π），求sinα-cosα的值．
已知函数f（x）=2sin
π
6
xcos
π
6
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（Ⅰ）求g（0）的值；
（Ⅱ）写出函数g（t）的解析式，求g（t）在[-
3
2
，
3
2
]上的取值范围．
从x个不同元素中，取出3个元素的组合数是20，则x的值是
 
．

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