Question

已知点F₁（-1，0），F₂（1，0），动点P满足F₁F₂为PF₁和PF₂的等差中项．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）过F₁作直线L交C于A，B两点，求AB的中点M的轨迹方程．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由等差中项的概念得到|PF₁|+|PF₂|=4，由此可知点P在以F₁，F₂为焦点的椭圆上，则动点P的轨迹C的方程可求；
（2）分别设出M，A，B的坐标，把A，B的坐标代入椭圆C的方程，由“点差法”求AB的中点M的轨迹方程．

解答： 解：（1）∵F₁（-1，0），F₂（1，0），
∴|F₁F₂|=2，
∵|F₁F₂|是|PF₁|与|PF₂|的等差中项，
∴2|F₁F₂|=|PF₁|+|PF₂|，
即|PF₁|+|PF₂|=4，
∴点P在以F₁，F₂为焦点的椭圆上，
∵2a=4，
∴a=2，
又c=1，
∴b²=a²-c²=4-1=3，
∴椭圆的方程是

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）设AB中点M（x，y）（-2＜x＜2），
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵A，B在椭圆C上，
∴

x12

4

+

y12

3

=1  ①，

x22

4

+

y22

3

=1  ②，
①-②得：

(x1-x2)(x1+x2)

4

=-

(y1-y2)(y1+y2)

3

，
即

y1-y2

x1-x2

=-

3

4

•

x1+x2

y1+y2

=-

3

4

•

2x

2y

=-

3x

4y

 （x₁≠x₂）．
∴

y-0

x-(-1)

=-

3x

4y

，整理得：3x²+4y²+3x=0 （-2＜x＜2）．
而F₁（-1，0）适合上式，
∴AB的中点M的轨迹方程为3x²+4y²+3x=0 （-2＜x＜2）．

点评：本题考查椭圆方程的求法，用到了等差中项的概念，训练了“点差法”求弦中点的轨迹，与中点弦有关的问题常用此法解决，是中档题．