Question

已知函数f（x）=-3x²-3x+4b²+

9

4

，b＞0，x∈[-b，b]，且f（x）的最大值为7，求b的值．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值

专题：函数的性质及应用

分析：首先把二次函数的一般式转化成顶点式，然后对对称轴与补丁区间进行讨论，根据相应的结果进行判断，最后确定b的值．

解答： 解：函数f（x）=-3x²-3x+4b²+

9

4

=-3(x+

1

2

)2+

3

4

+4b2+

9

4

∴函数是开口方向向下，对称轴是x=-

1

2

的抛物线
①当-b≤-

1

2

≤b时，f(x)max=f(-

1

2

)=

3

4

+4b2+

9

4

=7
解得：b=±1（负值舍去）
∴b=1
②当-b＞-

1

2

时，即b＜

1

2

，f(x)max=f(-b)=-3b2+3b+4b2+

9

4

=7
解得：b=

-12±8 7

8

（负值舍去）
∴b=

-12+8 7

8

＞

1

2

不符合题意故舍去．
③当b＜-

1

2

时不符合题意
综上所述：b=1
故答案为：b=1

点评：本题考查的知识点：二次函数一般式与顶点式的转换，对称轴和不定区间的讨论及相关的运算问题．