Question

6．已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=-x+1．
（1）求出y=f（x）的解析式，并画出函数图象；
（2）求出函数在[-3，1]上的值域．

Answer 1

分析 （1）由函数的奇偶性和已知解析式，把-x整体代入可得解析式；
（2）由（1）画出函数f（x）的图象，数形结合可得单调区间．

解答 解：（1）f（-x）=-f（x），
当x=0时，f（0）=0；
当x＜0时，f（x）=-f（-x）=-（x+1），
所以$f（x）=\left\{\begin{array}{l}-x+1，x＞0\\ 0，x=0\\-x-1，x＜0.\end{array}\right.$
（2）由（1）知，y=f（x）在[-3，0）单调递减，（0，1）单调递减，
所以y=f（x）在[-3，0）值域为（-1，2]，在（0，1]上值域为[0，1），f（0）=0，
所以y=f（x）在[-3，1]上值域为（-1，2]．

点评 本题考查函数的解析式求解，涉及函数的奇偶性和单调性以及函数的作图，属中档题．