Question

1．若曲线f（x）=-$\frac{1}{2}$x²+lnx在其定义域内的一个子区间（k-2，k+2）内不是单调函数，则实数k的取值范围是[2，3）．

Answer 1

分析 因为f（x）=-$\frac{1}{2}$x²+lnx的定义域为（0，+∞），导函数f'（x）的零点为x=1；要使得f（x）在区间（k-2，k+2）内不是单调函数，即$\left\{\begin{array}{l}{k-2＜1＜k+2}\\{k-2≥0}\end{array}\right.$．

解答 解：因为f（x）=-$\frac{1}{2}$x²+lnx的定义域为（0，+∞），又f'（x）=-x+$\frac{1}{x}$
由f'（x）=-x+$\frac{1}{x}$=0，得：x=1或-1（负舍）；
∴当x∈（0，1）时，f'（x）＞0，f（x）在（0，1）上单调递增；
当x∈（1，+∞）时，f'（x）＜0，f（x）在（1，+∞）上单调递减；
要使得f（x）在区间（k-2，k+2）内不是单调函数，即$\left\{\begin{array}{l}{k-2＜1＜k+2}\\{k-2≥0}\end{array}\right.$
解得：2≤k＜3
故答案为：[2，3）

点评 本题主要考查了导数与函数单调性关系，以及导函数的图形交点与原函数图形间单调性的关系，属中等题．