题目内容
如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，点D是线段AB上的一点，且∠CDB1=90°，AA1=CD，则点A1到平面B1CD的距离为考点：点、线、面间的距离计算
专题：空间位置关系与距离
分析：以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点A1到平面B1CD的距离．
解答：
解：∵在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，
∴AC⊥BC，
以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，
设AA1=CD=t，C（0，0，0），D（a，b，0），B1（0，4，t），A（3，0，0），
B（0，4，0），
=(-3.4，0)，
设
=λ
，则（a-3，b，0）=（-3λ，4λ，0），
∴a=3-3λ，b=4λ，即D（3-3λ，4λ，0），
∴
=（3-3λ，4λ，0），
=（3-3λ，4λ-4，-t），
∵∠CDB1=90°，
∴
•
=25λ2-34λ+9=0，
解得λ=1或λ=
，
当λ=1时，D与B重合，点A到面B1CD的距离为3；
当λ=
时，
=（
，
，0），t=
=
，
=（0，4，
），
设平面B1CD的法向量
=（x，y，z），
则
，取x=3，得
=（3，-4，
），
=（3，0，
），
∴点A1到平面B1CD的距离为：d=
=
=3．
综上所述，点A1到平面B1CD的距离为3．
故答案为：3．
解：∵在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，∴AC⊥BC，
以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，
设AA1=CD=t，C（0，0，0），D（a，b，0），B1（0，4，t），A（3，0，0），
B（0，4，0），
| AB |
设
| AD |
| AB |
∴a=3-3λ，b=4λ，即D（3-3λ，4λ，0），
∴
| CD |
| B1D |
∵∠CDB1=90°，
∴
| CD |
| B1D |
解得λ=1或λ=
| 9 |
| 25 |
当λ=1时，D与B重合，点A到面B1CD的距离为3；
当λ=
| 9 |
| 25 |
| CD |
| 48 |
| 25 |
| 36 |
| 25 |
(
|
| 12 |
| 5 |
| CB1 |
| 12 |
| 5 |
设平面B1CD的法向量
| n |
则
|
| n |
| 20 |
| 3 |
| CA1 |
| 12 |
| 5 |
∴点A1到平面B1CD的距离为：d=
|
| ||||
|
|
9+
| ||||
|
综上所述，点A1到平面B1CD的距离为3．
故答案为：3．
点评：本题主要考查了线面垂直的性质，以及线面平行的判定和二面角的度量，同时考查了转化与划归的思想，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知正三棱锥的底面边长为
，各侧面均为直角三角形，则它的外接球体积为（ ）
| 2 |
A、
| ||||
B、
| ||||
C、
| ||||
D、
|
设l、m、n是互不重合的直线，α、β是不重合的平面，则下列命题为真命题的是（ ）
| A、若l⊥α，l∥β，则α⊥β |
| B、若α⊥β，l?α，则l⊥β |
| C、若l⊥n，m⊥n，则l∥m |
| D、若α⊥β，l?α，n?β则l⊥n |