Question

设直线系A：（x-1）cosθ+（y-1）sinθ=1（0≤θ＜2π），对于下列四个命题：
①存在定点P不在A中的任一条直线上；
②A中所有直线经过一个定点；
③对于任意正整数n（n≥3），存在正n边形，其所有边均在A中的直线上；
④A中的直线所能围成的正三角形面积都相等；
⑤A中的直线所能围成的正方形面积都相等．
其中真命题序号是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：直线与圆

分析：令

x-1=cosθ y-1=sinθ

，则（x-1）²+（y-1）²=1，故直线系A：（x-1）cosθ+（y-1）sinθ=1表示以（1，1）点为圆心，以1为半径的圆C的所有切线的集合；进而逐一分析五个结论的真假，可得答案．

解答： 解：令

x-1=cosθ y-1=sinθ

，则（x-1）²+（y-1）²=1，
故直线系A：（x-1）cosθ+（y-1）sinθ=1表示以（1，1）点为圆心，以1为半径的圆C的所有切线的集合；
故当P点在圆C内时，P点不在A中的任一条直线上，故①正确；
A中所有直线不经过任一个定点，故②错误；
对于任意正整数n（n≥3），存在正n边形，其所有边均在A中的直线上，此时圆C为正n边形的内切圆，故③正确；
A中的直线所能围成的正三角形面积有6和

2

3

两种情况，故④错误；
A中的直线所能围成的正方形面积均为4，故⑤正确；
故答案为：①③⑤

点评：本题以命题的真假判断为载体考查了直线与圆的位置关系，其中分析出直线系A表示以（1，1）点为圆心，以1为半径的圆C的所有切线的集合；是解答的关键．