Question

已知

AO

=α，

OB

=β，α、β的夹角为

2π

3

，|α+β|=1，则△AOB面积的最大值是

 

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：根据|α+β|=1，平方得出|α|²+|β|²+2|α||β|cos

2π

3

=1，化简|α|²+|β|²-|α||β|=1≥2|α||β|-|α||β|，运用基本不等式|α||β|≤1，
得出S_△AOB=

1

2

|α||β|sin

π

3

≤

3

4

，即可得出△AOB取得最大面积．

解答： 解：∵|α+β|=1，
∴|α|²+|β|²+2|α||β|cos

2π

3

=1，
∴|α|²+|β|²-|α||β|=1≥2|α||β|-|α||β|，
∴|α||β|≤1，
∴S_△AOB=

1

2

|α||β|sin

π

3

≤

3

4

，
∴当且仅当|α|=|β|时，△AOB取得最大面积

3

4

．
故答案为：

3

4

．

点评：本题考查了平面向量的运算，应用求解模，夹角问题，结合不等式求解，属于中档题．