Question

4．已知曲线${C_1}：\left\{\begin{array}{l}x=1+cosθ\\ y=sinθ\end{array}\right.$（θ为参数），${C_2}：\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\\ y=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}+\frac{t}{2}\end{array}\right.$（t为参数）
（1）曲线C₁，C₂的交点为A，B，求|AB|；
（2）以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，过极点的直线l₁与C₁交于O，C两点，与直线ρsinθ=2交于点D，求$\frac{{|{OC}|}}{{|{OD}|}}$的最大值．

Answer 1

分析 （1）方法一：将曲线C₁代入曲线C₂方程，利用韦达定理及弦长公式，即可求得|AB|；
方法二：就得曲线C₂的普通方程，求得交点坐标，根据三角关系，即可求得|AB|；
（2）由题意分别求得丨OC丨及丨OD丨根据二倍角公式，及三角函数的性质即可求得$\frac{{|{OC}|}}{{|{OD}|}}$的最大值．

解答 解：（1）方法一：曲线${C_1}：{（x-1）^2}+{y^2}=1$，${（-\frac{{\sqrt{3}}}{2}t-1）^2}+{（\frac{{2\sqrt{3}}}{3}+\frac{t}{2}）^2}=1，{t^2}+\frac{{5\sqrt{3}}}{3}t+\frac{4}{3}=0$，
由韦达定理可知：t₁+t₂=-$\frac{5\sqrt{3}}{3}$，t₁t₂=$\frac{4}{3}$，
∴$|{AB}|=|{{t_1}-{t_2}}|=\sqrt{{{（{t_1}+{t_2}）}^2}-4{t_1}{t_2}}=\sqrt{3}$．
法二：C₂为$y=-\frac{{\sqrt{3}}}{3}x+\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，过（2，0），C₁过（2，0），不妨令A（2，0），
则∠OBA=90，∠OAB=30，
所以$|{AB}|=2×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\sqrt{3}$．
（2）C₁的极坐标方程为ρ=2cosθ，令l₁的极角为α，则$|{OD}|={ρ_1}=\frac{2}{sinα}，|{OC}|={ρ_2}=2cosα$，
$\frac{{|{OC}|}}{{|{OD}|}}=sinαcosα=\frac{1}{2}sin2α≤\frac{1}{2}$，
∴当$α=\frac{π}{4}$时取最大值，
$\frac{{|{OC}|}}{{|{OD}|}}$的最大值$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查直线的参数方程，考查参数方程与普通方程的转化，三角函数的性质，考查计算能力，属于中档题．