Question

2．设函数f（x）=ax³+x²+bx+1在x=1和x=2处都有极值，求a，b，并求出此函数的极值．

Answer 1

分析 由f′（1）=0，f′（2）=0，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{2}{9}}\\{b=-\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，由导数的符号确定极大、极小值即可．

解答 解：f′（x）=3ax²+2x+b，
∵函数f（x）=ax³+x²+bx+1在x=1和x=2处都有极值．
∴$\left\{\begin{array}{l}{f′（1）=3a+2+b=0}\\{f′（2）=12a+4+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{2}{9}}\\{b=-\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，经检验符合题意．
∴$f′（x）=-\frac{2}{3}{x}^{2}+2x-\frac{4}{3}$，
x∈（-∞，1），（2，+∞）时，f′（x）＜0，x∈（1，2）时，f′（x）＞0．
函数的增区间为（1，2）
∴函数有极小值f（1）=a+1+b+1=$\frac{4}{9}$．函数有极大值f（2）=8a+4+2b+1=$\frac{5}{9}$

点评 本题考查了利用导数求函数的极值，属于中档题．