Question

7．已知A（-1，0），B（1，0），$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$，|$\overrightarrow{AP}$|+|$\overrightarrow{AC}$|=4
（1）求P的轨迹E
（2）过轨迹E上任意一点P作圆O：x²+y²=3的切线l₁，l₂，设直线OP，l₁，l₂的斜率分别是k₀，k₁，k₂，试问在三个斜率都存在且不为0的条件下，$\frac{1}{{k}_{0}}$（$\frac{1}{{k}_{1}}$+$\frac{1}{{k}_{2}}$）是否是定值，请说明理由，并加以证明．

Answer 1

分析 （1）利用|$\overrightarrow{BP}$|=|$\overrightarrow{AC}$|，由|$\overrightarrow{AP}$|+|$\overrightarrow{AC}$|=4，得，|$\overrightarrow{AP}$|+|$\overrightarrow{BP}$|=4，即可求P的轨迹E；
（2）所以由韦达定理：k₁+k₂=$\frac{2{x}_{0}{y}_{0}}{{{x}_{0}}^{2}-3}$，k₁k₂=$\frac{{{y}_{0}}^{2}-3}{{{x}_{0}}^{2}-3}$，两式相除：$\frac{1}{{k}_{1}}$+$\frac{1}{{k}_{2}}$=$\frac{2{x}_{0}{y}_{0}}{{{y}_{0}}^{2}-3}$，即可得出结论．

解答 解：（1）如图因为$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$，所以四边形ACPB是平行四边形，
所以|$\overrightarrow{BP}$|=|$\overrightarrow{AC}$|，
由|$\overrightarrow{AP}$|+|$\overrightarrow{AC}$|=4，得，|$\overrightarrow{AP}$|+|$\overrightarrow{BP}$|=4，
所以P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，a=2，c=1，b=$\sqrt{3}$，
所以方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）设P（x₀，y₀），过P的斜率为k的直线为y-y₀=k（x-x₀），
由直线与圆O相切可得$\frac{|y-k{x}_{0}|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{3}$，即：$（{{x}_{0}}^{2}-3）{k}^{2}-2{x}_{0}{y}_{0}k+{{y}_{0}}^{2}-3=0$，
由已知可知k₁，k₂是方程$（{{x}_{0}}^{2}-3）{k}^{2}-2{x}_{0}{y}_{0}k+{{y}_{0}}^{2}-3=0$的两个根，
所以由韦达定理：k₁+k₂=$\frac{2{x}_{0}{y}_{0}}{{{x}_{0}}^{2}-3}$，k₁k₂=$\frac{{{y}_{0}}^{2}-3}{{{x}_{0}}^{2}-3}$，
两式相除：$\frac{1}{{k}_{1}}$+$\frac{1}{{k}_{2}}$=$\frac{2{x}_{0}{y}_{0}}{{{y}_{0}}^{2}-3}$，
又因为${{y}_{0}}^{2}-3$=-$\frac{3}{4}{{x}_{0}}^{2}$，
代入上式可得，$\frac{1}{{k}_{0}}$（$\frac{1}{{k}_{1}}$+$\frac{1}{{k}_{2}}$）=-$\frac{8}{3}$为一个定值．

点评 本题考查向量知识的运用，考查椭圆的定义，考查直线与圆位置关系的运用，考查韦达定理，属于中档题．