Question

13．已知函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}xlnx-3x，x＞0\\{x^2}+\frac{3}{2}x，x≤0\end{array}\right.$的图象上有且只有四个不同的点关于直线y=-1的对称点在直线y=kx-1上，则实数k的取值范围是（　　）

• A． $（{\frac{2}{7}，1}）$
• B． $（{\frac{1}{3}，3}）$
• C． $（{\frac{1}{2}，2}）$
• D． $（{2，\frac{7}{2}}）$

Answer 1

分析 令直线y=-kx-1与f（x）的图象有4个交点，作出f（x）的函数图象，求出f（x）过点（0，-1）的切线方程，结合函数图象即可得出k的范围．

解答 解：直线y=kx-1关于直线y=-1的对称直线是y=-kx-1，
则直线y=-kx-1与f（x）的图象有四个交点，
作出y=f（x）与直线y=-kx-1的函数图象如图所示：

设直线y=k₁x-1与y=x²+$\frac{3}{2}$x（x≤0）相切，切点为（x₁，y₁），
则$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{1}={k}_{1}{x}_{1}-1}\\{{y}_{1}={{x}_{1}}^{2}+\frac{3}{2}{x}_{1}}\\{2{x}_{1}+\frac{3}{2}={k}_{1}}\end{array}\right.$，解得x₁=-1，y₁=-$\frac{1}{2}$，k₁=-$\frac{1}{2}$，
设直线y=k₂x-1与y=xlnx-3x（x＞0）相切，切点为（x₂，y₂），
则$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{2}={k}_{2}{x}_{2}-1}\\{{y}_{2}={x}_{2}ln{x}_{2}-3{x}_{2}}\\{{k}_{2}=ln{x}_{2}-2}\end{array}\right.$，解得x₂=1，y₂=-3，k₂=-2，
∴-2$＜-k＜-\frac{1}{2}$，∴$\frac{1}{2}＜k＜2$．
故选：C．

点评 本题考查了方程解与函数图象的关系，导数的几何意义，属于中档题．