Question

14．已知幂函数f（x）=x^{（2-k）（1+k）}（k∈Z），且f（x）在（0，+∞）上单调递增．
（1）求实数k的值，并写出相应的函数f（x）的解析式；
（2）试判断是否存在正数q，使函数g（x）=1-qf（x）+（2q-1）x在区间[-1，2]上的值域为[-4，$\frac{17}{8}$]．若存在，求出q的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由f（2）＜f（3）知幂函数在（0，+∞）上为增函数，故（2-k）（1+k）＞0，解出k即可．
（2）写出g（x）的解析式g（x）=-qx²+（2q-1）x+1，为二次函数，只需考虑二次函数的对称轴和单调性即可．

解答 解：（1）因为幂函数f（x）=x^{（2-k）（1-k）} 在（0，+∞）上单调递增，
所以（2-k）（1+k）＞0，故-1＜k＜2．
又因为k∈Z，故k=0，或k=1，所以f（x）=x²．
（2）由（1）知g（x）=-qx²+（2q-1）x+1，
假设存在这样的正数q符合题意，
则函数g（x）的图象是开口向下的抛物线，
其对称轴为x=$\frac{2q-1}{2q}$=1-$\frac{1}{2q}$＜1，
因而，函数g（x）在[-1，2]上的最小值只能在x=-1或x=2处取得
又g（2）=-4q+4q-2+1=-1≠-4，从而必有g（-1）=2-3q=-4
解得q=2，
此时，g（x）=-2x²+3x+1，其对称轴x=$\frac{3}{4}$∈[-1，2]
∴g（x）在[-1，2]上的最大值为g（$\frac{3}{4}$）=-2×（$\frac{3}{4}$）²+3×$\frac{3}{4}$+1=$\frac{17}{8}$符合题意．

点评 本题考查幂函数的单调性、二次函数的值域问题，考查利用所学知识分析问题、解决问题的能力．