Question

18．如图，在四边形ABCD中，∠DAB=90°，∠ADC=135°，AB=5，CD=2$\sqrt{2}$，AD=2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积．

Answer 1

分析 几何体为圆台挖去一个圆锥，求出圆台和圆锥的底面半径，高和母线，代入面积公式和体积公式计算即可．

解答 解：作CE⊥AB于E，作DF⊥CE于F，
则AE=AD=2，CE=4，BE=3，∴BC=5，
四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体为圆台挖去一个圆锥，
其中，圆台的上下底面半径为r₁=2，r₂=5，高为4，母线l=5，
圆锥的底面半径为2，高为2，母线l′=2$\sqrt{2}$，
∴几何体的表面积S=25π+π×2×5+π×5×5+$π×2×2\sqrt{2}$=60π+4$\sqrt{2}$π．
几何体的体积V=$\frac{1}{3}$（25π+4π+$\sqrt{25π•4π}$）×4-$\frac{1}{3}$×4π×2=$\frac{148π}{3}$．

点评 本题考查了旋转体的结构特征，面积和体积计算，属于中档题．