题目内容
在△ABC中，a2+b2+c2=2
absinC，则△ABC的形状是 ．
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考点：三角形的形状判断
专题：解三角形
分析：在△ABC中，a2+b2+c2=2
absinC，由余弦定理知，a2+b2-c2=2abcosC，两式相加，利用基本不等式及正弦函数的有界性即可判断出该△ABC的形状．
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解答：
解：∵在△ABC中，a2+b2+c2=2
absinC，
又由余弦定理知，a2+b2-c2=2abcosC，
两式相加得：2（a2+b2）=2ab（
sinC+cosC）=4absin（C+
），
∴sin（C+
）=
≥
=1（当且仅当a=b时取“=”），又sin（C+
）≤1，
∴sin（C+
）=1（当且仅当a=b时成立），C为△ABC的内角，
∴C+
=
，C=
，又a=b，
∴△ABC的形状为等边△．
故答案为等边三角形．
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又由余弦定理知，a2+b2-c2=2abcosC，
两式相加得：2（a2+b2）=2ab（
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∴sin（C+
| π |
| 6 |
| a2+b2 |
| 2ab |
| 2ab |
| 2ab |
| π |
| 6 |
∴sin（C+
| π |
| 6 |
∴C+
| π |
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| π |
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| π |
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∴△ABC的形状为等边△．
故答案为等边三角形．
点评：本题考查三角形形状的判断，求得sin（C+
）=1是关键，考查余弦定理、辅助角公式、基本不等式及正弦函数的有界性，属于难题．
| π |
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