Question

1．已知f（x）=alnx+$\frac{1}{2}$x²（a＞0），若对任意两个不等的正实数x₁，x₂都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$≥2恒成立，则a的取值范围是[1，+∞）．

Answer 1

分析 可求导数$f′（x）=\frac{a}{x}+x$，而根据题意便可得出f′（x）≥2对于任意x＞0都成立，这样便可得出x²-2x+a≥0对任意x∈（0，+∞）恒成立，从而有二次函数y=x²-2x+a的最小值$\frac{4a-4}{4}≥0$，从而可求出a的取值范围．

解答 解：$f′（x）=\frac{a}{x}+x$；
根据$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}≥2$恒成立得：$\frac{a}{x}+x≥2$恒成立；
整理成，x²-2x+a≥0在（0，+∞）上恒成立；
∴$\frac{4a-4}{4}≥0$；
∴a≥1；
∴a的取值范围是[1，+∞）．
故答案为：[1，+∞）．

点评 考查基本初等函数导数的求法，函数导数的几何意义，直线斜率的计算公式，以及熟悉二次函数的图象．