Question

7．如图，ABCD是正方形，O是该正方形的中心，P是平面 ABCD 外一点，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点．
求证：（1）PA∥平面 BDE；
（2）BD⊥平面 PAC；
（3）若PB与平面PAC所成角为45°，求二面角E-BD-C的平面角．

Answer 1

分析 （1）连接OE，由已知得OE∥AP，由此能证明PA∥平面BDE．
（2）由线面垂直得PO⊥BD，由正方形性质得BD⊥AC，由此能证明BD⊥平面PAC．
（3）根据二面角平面角的定义得到∠COE是二面角E-BD-C的平面角，根据三角形的边角关系进行求解即可．

解答 （1）证明：如图所示，连接OE，
∵O是正方形ABCD的中心，∴OC=OA，
∵E是PC的中点，∴CE=EP，
∴OE∥AP，
∵PA?平面BDE，OE?平面BDE，
∴PA∥平面BDE
（2）证明：∵PO⊥底面ABCD，∴PO⊥BD．
由正方形可得：BD⊥AC，
又PO∩AC=O，∴BD⊥平面PAC．
（3）解：由（2）知BD⊥平面 PAC；
∴∠BPO是PB与平面PAC所成角，即∠BPO=45°，
则OB=OP，设OB=OP=1，则PC=PB=$\sqrt{2}$，
∵E是PC的中点，
∴OE⊥PC，
∵BD⊥平面 PAC，
∴BD⊥OE，
即∠COE是二面角E-BD-C的平面角，
在三角形COE中，∠ECO=∠COE=45°，
∴二面角E-BD-C的大小为45°．

点评 本题主要考查空间线面平行的判断以及二面角的求解，根据线面平行和线面垂直的判定定理以及二面角平面角的定义作出二面角的平面角是解决本题的关键．综合考查学生的运算和推理能力．