Question

16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＞c，已知$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$=-3，cosB=-$\frac{3}{7}$，b=2$\sqrt{14}$，求：
（1）a和c的值；
（2）sin（A-B）的值．

Answer 1

分析 （1）由平面向量的数量积和余弦定理，列出方程组解方程组即可；
（2）根据三角恒等变换和由正弦定理，计算sin（A-B）的值即可．

解答 解：（1）△ABC中，由$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$=-3得ca•cosB=-3，
又cosB=-$\frac{3}{7}$，所以ac=7；
由余弦定理得b²=a²+c²-2ac•cosB，
又b=2$\sqrt{14}$，所以a²+c²=50；
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{ac=7}\\{{a}^{2}{+c}^{2}=50}\end{array}\right.$，
因为a＞c，
所以解得a=7，c=1；
（2）△ABC中，sinB=$\sqrt{1{-cos}^{2}B}$=$\frac{2\sqrt{10}}{7}$，
由正弦定理，得sinA=$\frac{a}{b}$sinB=$\frac{\sqrt{35}}{7}$，
因为cosB＜0，所以A为锐角，
所以cosA=$\sqrt{1{-sin}^{2}A}$=$\frac{\sqrt{14}}{7}$；
所以sin（A-B）=sinAcosB-cosAsinB=-$\frac{\sqrt{35}}{7}$．

点评 本题考查了三角恒等变换和正弦、余弦定理的应用问题，也考查了平面向量的数量积问题，是综合性题目．