Question

8．观察下列式子：
$\begin{array}{l}1+\frac{1}{2^2}＜1+\frac{1}{2}\\ 1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}＜1+\frac{2}{3}\\ 1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}＜1+\frac{3}{4}\end{array}$
根据以上式子可以猜想：1+$\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+…+\frac{1}{n^2}$＜1+$\frac{n-1}{n}$（n≥2）．

Answer 1

分析 根据规律，不等式的左边是n+1个自然数倒数的平方的和，右边分母是以2为首项，1为公差的等差数列，分子是以3为首项，2为公差的等差数列，由此可得结论．

解答 解：根据规律，
不等式的左边是n+1个自然数倒数的平方的和，
右边分母是以2为首项，1为公差的等差数列，
分子是以3为首项，2为公差的等差数列，
所以第n个不等式应该为1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{{1}^{\;}}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{n}^{2}}$＜1+$\frac{n-1}{n}$．
故答案为：1+$\frac{n-1}{n}$．

点评 本题考查归纳推理，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．