Question

已知函数f（x）=log

1

2

（x²-ax-a）的值域为R，且f（x）在（-3，1-

3

）上是增函数，则a的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：复合函数的单调性

专题：函数的性质及应用

分析：由题意可得，函数y=x²-ax-a能够取遍所有的正数，由△=a²+4a≥0，求得a的范围 ①．再根据函数y=x²-ax-a在（-3，1-

3

）上是减函数且为正值，故

a

2

≥1-

3

，且当x=1-

3

时y≥0，由此求得a的范围②．结合①②求得a的范围．

解答： 解：由函数f（x）=log

1

2

（x²-ax-a）的值域为R，可得函数y=x²-ax-a能够取遍所有的正数，
故有△=a²+4a≥0，求得 a≤-4，或 a≥0 ①．
再根据f（x）在（-3，1-

3

）上是增函数，可得函数y=x²-ax-a在（-3，1-

3

）上是减函数且为正值，
故

a

2

≥1-

3

，且当x=1-

3

时y≥0．
即 a≥2-2

3

，且4-2

3

-a（1-

3

）-a≥0．
求得2-2

3

≤a≤2 ②．
结合①②求得0≤a≤2，
故答案为：[0，2]．

点评：本题主要考查复合函数的单调性，对数函数、二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题．