Question

已知A，B，C是△ABC的三个内角，向量

m

=（1，

3

），

n

=（sinA，2+cosA），且

m

∥

n

，边AC长为2．
（Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）若

1+sin2B

cos2B-sin2B

=3，求边AB的长．

Answer 1

考点：正弦定理

专题：三角函数的求值,解三角形,平面向量及应用

分析：（Ⅰ）首先根据向量的共线直接求出A的值．
（Ⅱ）先根据关系式求出tanB的值，进一步求出B的正弦和余弦值，最后利用正弦定理求出结果．

解答： 解：（Ⅰ）已知A，B，C是△ABC的三个内角，向量

m

=（1，

3

），

n

=（sinA，2+cosA），且

m

∥

n

，
所以：

3

sinA-(2+cosA)=0
进一步求得：2sin(A-

π

6

)=2
所以：sin(A-

π

6

)=1
∵0＜A＜π
求得：A=

2π

3

（Ⅱ）已知：

1+sin2B

cos2B-sin2B

=3
所以：4sinB=2cosB
解得：tanB=

1

2

进一步解得：sinB=

5

5

，cosB=

2 5

5

sinC=sin（

π

3

-B）=

(2 3 -1) 5

10

利用正弦定理：

AC

sinB

=

AB

sinC

解得：AB=2

3

-1

点评：本题考查的知识要点：向量的坐标运算，向量共线的充要条件，三角函数关系式的恒等变换，正弦定理的应用，属于基础题型．