Question

11．在平面直角坐标系xOy中，动点P到点D（2，3）的距离为4，设点P的轨迹为C．
（Ⅰ）写出C的方程；
（Ⅱ）设直线y=kx+1与C交于A，B两点，当k为何值时，$\overrightarrow{DA}$⊥$\overrightarrow{DB}$，此时|$\overrightarrow{AB}$|的值是多少？

Answer 1

分析 （Ⅰ）设动点P坐标为（x，y），利用两点间的距离公式列出曲线C的方程即可；
（Ⅱ）利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线y=kx+1的距离d，根据$\overrightarrow{DA}$⊥$\overrightarrow{DB}$，且两向量的模为半径，求出d的值，进而求出k与|$\overrightarrow{AB}$|的值即可．

解答 解：（Ⅰ）设动点P的坐标为（x，y），
根据题意得：$\sqrt{（x-2）^{2}+（y-3）^{2}}$=4，
整理得：（x-2）²+（y-3）²=16，
则曲线C的方程为（x-2）²+（y-3）²=16；
（Ⅱ）圆心（2，3）到直线y=kx+1的距离d=$\frac{|2k-2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
∵$\overrightarrow{DA}$⊥$\overrightarrow{DB}$，|$\overrightarrow{DA}$|=|$\overrightarrow{DB}$|=r=4，
∴d=$\frac{1}{2}$|AB|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$r=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×4=2$\sqrt{2}$，
∴$\frac{|2k-2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2$\sqrt{2}$，
解得：k=-1，|$\overrightarrow{AB}$|=4$\sqrt{2}$，
则当k=-1时，$\overrightarrow{DA}$⊥$\overrightarrow{DB}$，此时|$\overrightarrow{AB}$|=4$\sqrt{2}$．

点评 此题考查了直线与圆的位置关系，以及轨迹方程，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．