Question

6．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，a=c且满足cosC+（cosA-$\sqrt{3}$sinA）cosB=0，若点O是△ABC外一点，OA=2OB=4，则四边形OACB的面积的最大值为（　　）

• A． 8+5$\sqrt{3}$
• B． 4+5$\sqrt{3}$
• C． 12
• D． 4+5$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由诱导公式、两角和的余弦公式化简已知的式子，由内角的范围、商的关系、特殊角的三角函数值求出B，结合条件判断出△ABC为等边三角形，∠AOB=θ边求出θ的范围，利用三角形的面积公式与余弦定理，表示出得S_OACB，利用辅助角公式化简，由θ的范围和正弦函数的性质求出平面四边形OACB面积的最大值．

解答 解：∵cosC+（cosA-$\sqrt{3}$sinA）cosB=0，cosC=-cos（A+B），
∴cosAcosB-$\sqrt{3}$sinAcosB=cos（A+B）=cosAcosB-sinAsinB，
化简得$\sqrt{3}$sinAcosB=sinAsinB，
∵A为三角形内角，sinA≠0，∴tanB=$\sqrt{3}$，
∴由B∈（0，π）得，B=$\frac{π}{3}$，
又∵a=c，∴△ABC为等边三角形；
设∠AOB=θ，则0＜θ＜π，
∴S_OACB=S_△AOB+S_△ABC=$\frac{1}{2}$|OA|•|OB|sinθ+$\frac{1}{2}$×|AB|²×$\frac{\sqrt{3}}{2}$
=$\frac{1}{2}$×4×2×sinθ+$\frac{\sqrt{3}}{4}$（|OA|²+|OB|²-2|OA|•|OB|cosθ）
=4sinθ+$\frac{\sqrt{3}}{4}$（4+16-2×2×4×cosθ）=4sinθ-4$\sqrt{3}$cosθ+5$\sqrt{3}$
=8sin（θ-$\frac{π}{3}$）+5$\sqrt{3}$，
∵0＜θ＜π，∴-$\frac{π}{3}$＜θ-$\frac{π}{3}$＜$\frac{2π}{3}$，
∴当θ-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，即θ=$\frac{5π}{6}$时，sin（θ-$\frac{π}{3}$）取得最大值1，
∴平面四边形OACB面积的最大值为8+5$\sqrt{3}$．
故选A．

点评 本题考查三角函数中的恒等变换中的公式，余弦定理的应用，考查化简、变形及运算能力，属于中档题．