Question

16．已知直线l经过点P（1，2），倾斜角α=$\frac{π}{3}$．
（I）写出直线l的参数方程；
（II）设l与圆x²+y²=2相交与两点A，B，求点P到A，B两点的距离之积．

Answer 1

分析 （I）直线的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=1+tcos\frac{π}{3}\\ y=2+tsin\frac{π}{3}\end{array}\right.$，化简即可得出．
（II）把直线$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{1}{2}t\\ y=2+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$代入x²+y²=2化为：${t^2}+（2\sqrt{3}+1）t+3=0$．利用根与系数的关系即可得出点P到A，B两点的距离之积．

解答 解：（I）直线的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=1+tcos\frac{π}{3}\\ y=2+tsin\frac{π}{3}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{1}{2}t\\ y=2+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$．
（II）把直线$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{1}{2}t\\ y=2+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$代入x²+y²=2．
得${（1+\frac{1}{2}t）^2}+{（2+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t）^2}=2$，化为：${t^2}+（2\sqrt{3}+1）t+3=0$．
∴t₁t₂=3，
∴点P到A，B两点的距离之积为3．

点评 本题考查了直线的参数方程及其应用、直线与圆相交问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．