Question

1．如图，AB是圆O的直径，点D是弦BC的中点，直线AD交圆O于点E，过点E作EF⊥BC于点H，交圆O于点F，交AB于点I，若OF⊥AB．
（1）证明：CA=CD；
（2）若圆的半径为2$\sqrt{5}$，求DI的长．

Answer 1

分析 （1）证明：∠CDA=∠CAD=45°，即可证明CA=CD；
（2）连接DI，DO，由（1）得EI为线段DB的垂直平分线，故H为线段DB的中点，证明DO∥HI，得到I为线段OB的中点，即可求DI的长．

解答 证明：（1）∵OF⊥AB，
∴∠FOB=90°，∴$∠FEB=\frac{1}{2}∠FOB={45^0}$，
∵AB是圆O的直径，∴∠AEB=∠AEF+∠FEB=90°，
∴∠AEF=45°，∵EF⊥BC，
∴∠EHD=∠EHB=90°，∠EDH=∠EBH=45°，
又∠CDA=∠EDH，∠CAD=∠EBH，∴∠CDA=∠CAD=45°，
∴CA=CD．
（2）连接DI，DO，
由（1）得EI为线段DB的垂直平分线，故H为线段DB的中点，
∵D是弦BC的中点，
∴OD⊥DB，
∴DO∥HI，
∴I为线段OB的中点，
∴在Rt△ODB中，$DI=\frac{1}{2}OB=\sqrt{5}$．

点评 本题考查等腰三角形的性质，考查垂径定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．