Question

3．某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）在某一周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：

ωx+φ	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x		$\frac{π}{12}$		$\frac{7π}{12}$
Asin（ωx+φ）	0	2		-2	0

（1）请将上表数据补充完整，并直接写出函数f（x）的解析式；
（2）若关于x的方程|f（x）|=m在[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{6}$]上有两个不相等的实数根，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据用五点法作函数y=Asin（ωx+φ）在一个周期上的图象的方法，将上表数据补充完整，直接写出函数f（x）的解析式．
（2）令t=2x+$\frac{π}{3}$，可求t∈[-$\frac{2π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，并做出函数y=2|sint|的图象，利用正弦函数的图象和性质，结合有两个交点数形结合即可得解m的取值范围．

解答 解：（1）根据表中已知数据可得：A=2，$\frac{π}{12}$ω+φ=$\frac{π}{2}$，$\frac{7π}{12}$ω+φ=$\frac{3π}{2}$，
解得ω=2，φ=$\frac{π}{3}$，数据补全如下表：

ωx+φ	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x	-$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{12}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{7π}{12}$	$\frac{5π}{6}$
Asin（φx+φ）	0	2	0	-2	0

且函数表达式为f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
（2）令t=2x+$\frac{π}{3}$，
由于x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{6}$]，t∈[-$\frac{2π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，函数y=2|sint|的图象如图所示：

又∵y=m与y=2|sint|图象有两个交点，
∴m的取值范围是{m|0＜m＜$\sqrt{3}$或m=2}．

点评 本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，正弦函数的图象和性质，考查了作图能力和数形结合思想，属于中档题．