Question

已知：

1

a

，

1

b

，

1

c

成等差数列，且a+c；a-c，a+c-2b都为正数．求证：lg（a+c），lg（a-c），lg（a+c-2b）也成等差数列．

Answer 1

考点：等差数列的性质,对数的运算性质

专题：等差数列与等比数列

分析：由

1

a

，

1

b

，

1

c

成等差数列推得b=

2ac

a+c

，然后求lg（a+c）+lg（a+c-2b），利用对数的运算性质化简后得到lg（a+c）+lg（a+c-2b）=2lg（a-c）．由此说明lg（a+c），lg（a-c），lg（a+c-2b）成等差数列．

解答： 证明：∵

1

a

，

1

b

，

1

c

成等差数列，
∴

1

a

+

1

c

=

2

b

，即b=

2ac

a+c

．
而lg（a+c）+lg（a+c-2b）=lg（a+c）（a+c-2b）
=lg[a²+2ac+c²-2b（a+c）]
=lg[a2+2ac+c2-2•

2ac

a+c

(a+c)]
=lg[a²-2ac+c²]=lg（a-c）²=2lg（a-c）．
∴lg（a+c），lg（a-c），lg（a+c-2b）也成等差数列．

点评：本题考查了等差中项的概念，考查了对数的运算性质，是基础题．