Question

已知函数f（x）=x+

1

x

．
（1）判断并证明函数f（x）在区间[1，+∞）上的单调性；
（2）若x²+1≥ax在[1，∞）恒成立，求参数a取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）先判定，然后利用函数单调性的定义进行证明即可；
（2）将不等式x²+1≥ax在[1，∞）恒成立，转化成不等式x+

1

x

≥a在[1，∞）恒成立，然后利用单调性求出x+

1

x

的最小值，从而可求出所求．

解答： 解：（1）函数f（x）=x+

1

x

在[1，+∞）上单调递增，证明如下：
设任意x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁＜x₂，
则f(x2)-f(x1)=(x2+

1

x2

)-(x1+

1

x1

)=(x2-x1)(1-

1

x1x2

)=

(x2-x1)(x1x2-1)

x1x2

，
∵1≤x₁＜x₂，
∴x₂-x₁＞0，x₁x₂＞0，x₁x₂-1≥0，
∴

(x2-x1)(x1x2-1)

x1x2

＞0，
∴f（x₂）＞f（x₁），
∴函数f（x）=x+

1

x

在[1，+∞）上单调递增；
（2）∵不等式x²+1≥ax在[1，∞）恒成立，
∴不等式x+

1

x

≥a在[1，∞）恒成立，
记g（x）=x+

1

x

（x≥1），则不等式x+

1

x

≥a在[1，∞）恒成立等价于a≤g（x）_min，
由（1）知g（x）在[1，+∞）上单调递增，所以g（x）_min=g（1）=2，
∴a≤2．

点评：本题主要考查了函数单调性的证明，以及恒成立问题的应用和转化的思想，同时考查了学生分析问题和解决问题的能力，以及运算求解的能力．