Question

4．已知函数f（x）=$\frac{lnx-a}{x}$-m，（a，m∈R）在x=e（e为自然对数的底）时取得极值且有两个零点．
（1）求实数m的取值范围；
（2）记函数f（x）的两个零点为x₁，x₂，证明x₁x₂＞e²．

Answer 1

分析 （1）求函数的导数，求出a的值，求出f（x）的解析式，$\frac{lnx}{x}$=m有2个交点，令g（x）=$\frac{lnx}{x}$，根据函数单调性求出g（x）的最大值，从而求出m的范围即可；
（2）利用函数零点的性质，结合函数单调性和导数之间的关系，进行转化即可证明不等式．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{1-lnx+a}{{x}^{2}}$，（x＞0），
若f（x）在x=e时取得极值，
则f′（e）=$\frac{1-1+a}{{e}^{2}}$=0，解得：a=0，
故f（x）=$\frac{lnx}{x}$-m，
若f（x）有2个零点，即$\frac{lnx}{x}$=m有2个交点，
令g（x）=$\frac{lnx}{x}$，则g′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
令g′（x）＞0，解得：x＜e，
令g′（x）＜0，解得：x＞e，
∴g（x）在（0，e）递增，在（e，+∞）递减，
故g（x）的最大值是g（e）=$\frac{1}{e}$，
故m＜$\frac{1}{e}$；
（2）∵f（x）有两个相异零点，∴设lnx₁=mx₁，lnx₂=mx₂，①
即lnx₁-lnx₂=m（x₁-x₂），$\frac{l{nx}_{1}-l{nx}_{2}}{{{x}_{1}-x}_{2}}$=m②
而x₁•x₂＞e²，等价于：lnx₁+lnx₂＞2，即m（x₁+x₂）＞2，③
由①②③得：$\frac{l{nx}_{1}-l{nx}_{2}}{{{x}_{1}-x}_{2}}$（x₁+x₂）＞2，
不妨设x₁＞x₂＞0，则t=$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$＞1，
上式转化为：lnt＞$\frac{2（t-1）}{t+1}$，t＞1
设H（t）=lnt-$\frac{2（t-1）}{t+1}$，t＞1，
则H′（t）=$\frac{{（t-1）}^{2}}{{t（t+1）}^{2}}$＞0，
故函数H（t）是（1，+∞）上的增函数，
∴H（t）＞H（1）=0，
即不等式lnt＞$\frac{2（t-1）}{t+1}$成立，
故所证不等式x₁•x₂＞e²成立．

点评 本题主要考查函数单调性和导数之间的关系和应用，以及利用函数的导数研究函数的最值和零点问题，综合性较强，运算量较大．