Question

19．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形．点E是棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F．PA=AD=PD=2，且平面PAD⊥平面ABCD，
（1）求证：AB∥EF；
（2）证明：AF⊥平面PCD；
（3）求三棱锥P-ACD的体积．

Answer 1

分析 （1）推导出AB∥CD，从而AB∥平面PCD，由此能证明AB∥EF．
（2）推导出CD⊥AD，CD⊥AF，从而CD∥EF，由此能证明AF⊥平面PCD．
（3）由V_P-ACD=V_A-PCD，能求出

解答 证明：（1）∵底面ABCD是正方形，∴AB∥CD，（1分）
又∵AB?平面PCD，CD?平面PCD，
∴AB∥平面PCD，（3分）
又∵A，B，E，F四点共面，且平面ABEF∩平面PCD=EF，
∴AB∥EF．（5分）
（2）在正方形ABCD中，CD⊥AD，
又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴CD⊥平面PAD，又∵AF?平面PAD，∴CD⊥AF，
由（1）知AB∥EF，又∵AB∥CD，∴CD∥EF，
由点E是棱PC中点，∴点F是棱PD中点，
在△PAD中，∵PA=AD，∴AF⊥PD，
又∵PD∩CD=D，
∴AF⊥平面PCD．（10分）
解：（3）由（2）知：三棱锥P-ACD的体积：
V_P-ACD=V_A-PCD=$\frac{1}{3}$S_△PCD•AF=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×2×sin60°=\frac{2\sqrt{3}}{3}$．…（12分）

点评 本题考查线线平行、线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．