Question

△ABC中A（3，-1），AB边上的中线CM所在直线方程为6x+10y-59=0，∠B的平分线方程BT为x-4y+10=0．
（1）求顶点B的坐标；
（2）求直线BC的方程．

Answer 1

考点：两直线的夹角与到角问题,直线的斜率

专题：直线与圆

分析：（1）设B（x₀，y₀），则AB的中点M（

x0+3

2

，

y0-1

2

）在直线CM上，从而3x₀+5y₀-55=0，又点B在直线BT上，则x₀-4y₀+10=0，由此能求出B点的坐标．
（2）设点A（3，-1）关于直线BT的对称点D的坐标为（a，b），则点D在直线BC上，从而D（1，7），由此能求出直线BC的方程．

解答： 解：（1）设B（x₀，y₀），则AB的中点M（

x0+3

2

，

y0-1

2

）在直线CM上．
∴6×

x0+3

2

+10×

y0-1

2

-59=0，
∴3x₀+5y₀+4-59=0，
即3x₀+5y₀-55=0，①
又点B在直线BT上，则x₀-4y₀+10=0，②
由①②可得x₀=10，y₀=5，即B点的坐标为（10，5）．（5分）
（2）设点A（3，-1）关于直线BT的对称点D的坐标为（a，b），
则点D在直线BC上．
由题知

b+1 a-3 × 1 4 =-1 a+3 2 -4× b-1 2 +10=0

，
得

a=1 b=7

，∴D（1，7）．（7分）
k_BC=k_BD=

7-5

1-10

=-

2

9

，（8分）
∴直线BC的方程为y-5=-

2

9

(x-10)，即2x+9y-65=0．（10分）

点评：本题考查点的坐标的求法，考查直线方程的求法，解题时要认真审题，是中档题．