Question

已知向量

a

=（sinx，2

3

sinx），

b

=（2cosx，sinx），定义f（x）=

a

•

b

-

3

（1）求函数y=f（x），x∈R的单调递减区间；
（2）若函数y=f（x+θ）（0＜θ＜

π

2

）为偶函数，求θ的值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,余弦函数的图象

专题：计算题,函数的性质及应用,三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：（1）运用向量的数量积的坐标表示和二倍角公式及两角差的正弦公式，结合正弦函数的减区间，解不等式即可得到所求区间；
（2）运用余弦函数为偶函数，以及诱导公式，解方程即可求得．

解答： 解：（1）向量

a

=（sinx，2

3

sinx），

b

=（2cosx，sinx），
则f（x）=

a

•

b

-

3

=2sinxcosx+2

3

sin²x-

3

=sin2x-

3

cos2x
=2sin（2x-

π

3

），
令2kπ+

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z，
解得，kπ+

5π

12

≤x≤kπ+

11π

12

，
即有f（x）的单调减区间为[kπ+

5π

12

，kπ+

11π

12

]，k∈Z；
（2）函数y=f（x+θ）（0＜θ＜

π

2

）为偶函数，
即有y=2sin（2x+2θ-

π

3

）为偶函数．
可令2θ-

π

3

=kπ+

π

2

，k∈Z，
解得，θ=

kπ

2

+

5π

6

，k∈Z．
由诱导公式可得，y=2sin（2x+2θ-

π

3

）=2sin（2x+kπ+

π

2

）
=±2cos2x，即为偶函数．
则有θ=

kπ

2

+

5π

6

，k∈Z．

点评：本题考查平面向量的数量积的坐标表示，考查二倍角公式和两角差的正弦公式，考查正弦函数的单调性和余弦函数的奇偶性的运用，考查运算能力，属于中档题．