Question

4．在圆x²+y²=4上取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足．
（1）当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？
（2）若直线y=x+$\frac{1}{2}$与（1）问中的点M的轨迹相交于A、B两点，求|AB|．

Answer 1

分析 （1）设出M点的坐标，由M为线段PD的中点得到P的坐标，把P的坐标代入圆x²+y²=4整理得线段PD的中点M的轨迹方程；
（2）直线y=x+$\frac{1}{2}$与$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1联立可得5x²+4x-3=0，求出方程的解，再利用弦长公式进行计算即可．

解答 解：（1）设M（x，y），由题意D（x，0），P（x，y₁）
∵M为线段PD的中点，∴y₁+0=2y，y₁=2y．
又∵P（x，y₁）在圆x²+y²=4上，∴x₁²+y₁²=4，
∴x²+4y²=4，即$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．
∴轨迹C为椭圆，且方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（2）直线y=x+$\frac{1}{2}$与$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1联立可得5x²+4x-3=0，∴x=$\frac{-2±\sqrt{19}}{5}$，
∴|AB|=$\sqrt{1+1}$$•\frac{2\sqrt{19}}{5}$=$\frac{2\sqrt{38}}{5}$．

点评 本题考查点的轨迹方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查弦长的计算，属于中档题．