Question

14．已知等差数列{a_n}的公差d≠0，且a₁、a₃、a₉成等比数列，则$\frac{{{a_1}+{a_4}}}{{{a_2}+{a_6}}}$的值是$\frac{5}{8}$．

Answer 1

分析 因为{a_n}是等差数列，故a₁、a₃、a₉都可用d表达，又因为a₁、a₃、a₉恰好是等比数列，所以有a₃²=a₁a₉，即可求出d，即可求比值．

解答 解：等差数列{a_n}中，a₁=a₁，a₃=a₁+2d，a₉=a₁+8d，
因为a₁、a₃、a₉恰好是某等比数列，
所以有a₃²=a₁a₉，即（a₁+2d）²=a₁（a₁+8d），
解得d=a₁，
则$\frac{{{a_1}+{a_4}}}{{{a_2}+{a_6}}}$=$\frac{2{a}_{1}+3d}{2{a}_{1}+6d}$=$\frac{5d}{8d}$=$\frac{5}{8}$．
故答案是：$\frac{5}{8}$．

点评 本题考查等差数列的性质，属基础知识、基本运算的考查．