Question

定义域是一切实数的函数y=f（x），其图象是连续不断的，且存在常数λ（λ∈R）使得f（x+λ）+λf（x）=0对任意实数x都成立，则称f（x）是一个“λ-函数”． 有下列关于“λ-函数”的结论：
①f（x）=0是常数函数中唯一一个“λ-函数”；
②“

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-函数”至少有一个零点；
③f（x）=x²是一个“λ-函数”；
④f（x）=e^x是一个“λ-函数”．
其中正确结论是

 

．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：利用新定义“λ的相关函数”，对①②③④逐个判断即可得到答案．

解答： 解：①、设f（x）=C是一个“λ-同伴函数”，则（1+λ）C=0，当λ=-1时，可以取遍实数集，因此f（x）=0不是唯一一个常值“λ-同伴函数”，故①错误
②、令x=0，得f（

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）+

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f（0）=0．所以f（

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）=-

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f（0），
若f（0）=0，显然f（x）=0有实数根；若f（0）≠0，f（

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）•f（0）=-

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（f（0））²＜0，
又因为f（x）的函数图象是连续不断，所以f（x）在（0，

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）上必有实数根，
因此任意的“-

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同伴函数”必有根，即任意“-

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2

同伴函数”至少有一个零点．故④正确．
③、假设f（x）=x²是一个“λ-同伴函数”，则（x+λ）²+λx²=0，
即（1+λ）x²+2λx+λ²=0对任意实数x成立，所以λ+1=2λ=λ²=0，而此式无解，所以f（x）=x²不是一个“λ-同伴函数”．故③错误
④、假设f（x）=e^x是一个“λ-同伴函数”，则e^x+λ+λe^x=0对任意实数x成立，则有e^λ+λ=0，而此式有解，所以f（x）=e^x是“λ-伴随函数”，故④正确．
故答案为：②④．

点评：本题考查的知识点是函数的概念及构成要素，函数的零点，正确理解f（x）是λ-同伴函数的定义，是解答本题的关键