Question

已知f（x）=

x2

ax+b

（a，b为常数），且方程f（x）-x+12=0有两个实数根3和4．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（x）=-2m的两根为x₁，x₂，求x₁²+x₂²的取值范围；
（3）解不等式f（x）≥

1

2-x

．

Answer 1

考点：其他不等式的解法,函数的图象与图象变化,根的存在性及根的个数判断

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）由条件利用韦达定理求得a、b的值，从而求得函数f（x）的解析式．
（2）根据判别式大于或等于零求得m的范围，并利用韦达定理求出x₁²+x₂²的解析式，再利用二次函数的性质求得x₁²+x₂²的范围．
（3）把不等式等价转化为一个不等式组，从而求得它的解集．

解答： 解：（1）

x2

ax+b

-x+12=0⇒(1-a)x2+(12a-b)x+12b=0，利用韦达定理可得

12a-b a-1 =7 12b 1-a =12

⇒

a=-1 b=2

⇒f(x)=

x2

2-x

．
（2）

x2

2-x

=-2m⇒x2-2mx+4m=0，故有

△≥0⇒m≤0或m≥4 x1+x2=2m x1x2=4m

，
则

x

2 1

+

x

2 2

=(x1+x2)2-2x1x2=4m2-8m∈[0，+∞)．
（3）由题意可得不等式即

x2

2-x

≥

1

2-x

，即

(x+1)(x-1)

x-2

≤0，即

(x-2)(x+1)(x-1)≤0 x-2≠0

 
求得它的解集为（-∞，-1]∪[1，2）．

点评：本题主要考查了一元二次方程的根的分布与系数的关系，求函数的值域，属于基础题．