Question

【题目】（本小题满分12分）我们把一系列向量按次序排成一列，称之为向量列，记作，已知向量列满足：，．

（1）证明：数列是等比数列；

（2）设表示向量与间的夹角，若，对于任意正整数，不等式恒成立，求实数的范围

（3）设，问数列中是否存在最小项？若存在，求出最小项；若不存在，请说明理由

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）存在最小项，最小项是

【解析】

试题分析：第一问利用等比数列的定义证明，第二问只需证明不等式左边的最小值大于a（a+2）,接下来研究左边和式的单调性，最后转化为求解，第三问假设存在第n项最小满足，求解关于n的不等式得第5项最小．

试题解析：（1）∵ ，

∴ ，

∴数列是等比数列；

（2）∵ ，∴ ， ，

不等式化为：对任意正整数恒成立．

设．

又 ，

∴ 数列单调递增，，

要使不等式恒成立，只要， ，得

∴ 使不等式对于任意正整数恒成立的的取值范围是．

（3）∵，∴ ，

假设中的第 项最小，由 ，，∴，

当时，有，由可得，即，∴ ，，或（舍），

∴ ，即有，

由，得， 又，∴ ；

故数列中存在最小项，最小项是