Question

【题目】如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，BC⊥CD，平面SCD⊥平面ABCD，SC=SD=CD=AD=2AB，M，N分别为SA，SB的中点，E为CD中点，过M，N作平面MNPQ分别与BC，AD交于点P，Q，若 =t ．
（1）当t= 时，求证：平面SAE⊥平面MNPQ；
（2）是否存在实数t，使得二面角M﹣PQ﹣A的平面角的余弦值为 ？若存在，求出实数t的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）证明：（1）E为CD中点，∴四边形ABCE为矩形，

∴AE⊥CD，

当t= 时，Q为AD中点，PQ∥CD，所以PQ⊥AE，

∵平面SCD⊥平面ABCD，SE⊥CD，∴SE⊥面ABCD，

∵PQ面ABCD，∴PQ⊥SE，∴PQ⊥面SAE，

所以面MNPQ⊥面SAE

（2）解：如图，以E为原点，ED，EA，ES直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示坐标系；

设ED=a，则M（（1﹣t）a，（ ﹣ ）a， a），E（0，0，0），A（0， ，0），

Q（（1﹣t）a， ，0）， =（0， ， ），

面ABCD一个方向向量为 =（1，0，0），

设平面MPQ的法向量 =（x，y，z），

则 ，取z=2，得 =（0， ，2），

平面ABCD的法向量为 =（0，0，1）

∵二面角M﹣PQ﹣A的平面角的余弦值为 ，

∴由题意：cosθ= = = ，

解得t= 或t= ，

由图形知，当t= 时，二面角M﹣PQ﹣A为钝二面角，不合题意，舍去

综上：t= ．

【解析】（1）推导出AE⊥CD，PQ⊥AE，从而SE⊥面ABCD，由此能证明面MNPQ⊥面SAE．（2）以E为原点，ED，EA，ES直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出t的值．