Question

设a、b均为大于1的自然数，函数f（x）=ab+asinx，g（x）=cosx+b，若存在实数k，使得f（k）=g（k），则ab=

 

．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：计算题

分析：利用f（m）=g（m），推出

a2+1

•sin（m-θ）=b（1-a），利用三角函数的有界性，推出a，b的关系，结合a，b均为大于1的自然数，讨论a，b的范围，求出a，b的值即可．

解答： 解：由f（m）=g（m），
即a（b+sinm）=b+cosm，
asinm-cosm=b-ab，

a2+1

•sin（m-θ）=b（1-a）[注：sinθ=

1

a2+1

]，
∵-1≤sin（m-θ）≤1，
∴-

a2+1

≤b，（1-a）≤

a2+1

，
∵a，b均为大于1的自然数，
∴1-a＜0，b（1-a）＜0，
∴b（1-a）≥-

a2+1

，
b（a-1）≤

a2+1

，
b≤

a2+1 (a-1)2

=

1+ 2a (a-1)2

．
∵a≥4时

2a

(a-1)2

＜1，b＜2，
∴a＜4，
当a=2时 b≤

5

，b=2，
当a=3时  b≤

2.5

无解，
综上：a=2，b=2，
ab=4．
故答案为：4．

点评：本题考查三角函数的有界性，基本不等式的应用，考查计算能力，转化思想，属于中档题．