Question

下列四个结论中：
（1）如果两个函数都是增函数，那么这两个函数的积运算所得函数为增函数；
（2）奇函数f（x）在[0，+∞）上是增函数，则f（x）在R上为增函数；
（3）既是奇函数又是偶函数的函数只有一个；
（4）若函数f（x）的最小值是a，最大值是b，则f（x）值域为[a，b]．
其中正确结论的序号为

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）举例说明：当x∈（0，+∞）时，y=x与y=-

1

x

均为增函数，y=x•（-

1

x

）=-1不是增函数，可判断①；
（2）利用奇函数的性质“奇函数在对称区间上的单调性相同”可判断②；
（3）举例说明，x∈（-1，1）时，f（x）=0与f（x）=

1-x2

+

x2-1

均为既是奇函数又是偶函数，可判断③；
（4）构造函数，若a＜b，函数f（x）=

a，x为无理数 b，x为有理数

，则f（x）值域为{a，b}，可判断④．

解答： 解：（1），当x∈（0，+∞）时，y=x与y=-

1

x

均为增函数，但这两个函数的积运算所得函数为y=x•（-

1

x

）=-1不是增函数（为常函数），故（1）错误；
（2）奇函数f（x）在[0，+∞）上是增函数，则f（x）在（-∞，0）上也是增函数，故在R上为增函数，（2）正确；
（3）既是奇函数又是偶函数的函数只有一个，错误．如x∈（-1，1）时，f（x）=0既是奇函数又是偶函数的函数；f（x）=

1-x2

+

x2-1

既是奇函数又是偶函数的函数，故（3）错误；
（4）若a＜b，函数f（x）=

a，x为无理数 b，x为有理数

，即函数f（x）的最小值是a，最大值是b，则f（x）值域为{a，b}，而不是[a，b]，故（4）错误．
故答案为：（2）．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查函数的单调性与奇偶性，灵活构造函数是关键，属于中档题．